أحجية السجناء الثلاث

أحجية السجناء الثلاث

وقع ثلاثة أشخاص A و B و C سجناء في قصر
حاكم ظالم ، فأعطى أمراً أن يطلق أحدهم في اليوم التالي و أن يقتل الآخران
. أخبر أحد الحراس السجناء الثلاثة بالأمر ، وأعلمهم آسفاً أن الحاكم قد
أمره ألا يجيب ، إذا سأله أحد السجناء عن كونه صاحب الحظ بالنجاة .
واستنتج كلٌ من السجناء أن احتمال نجاته هو 1/3 . التقى السجين A ، في
محاولة يائسة للحصول على المزيد من المعلومات ، سراً الحارس وسأله عن اسم

زميل
له سيقتل في اليوم التالي ، ولمّا لم تكن الإجابة على هذا السؤال محظورة
من قبل الحاكم فقد أجاب الحارس أن B سيقتل في اليوم التالي . فراح A فرحاً
ظنّاً منه أن فرصة نجاته قد زادت لتصبح 1/2 (لأن واحداً سيلقى حتفه فقط في
اليوم التالي ) فهل كان محقاً ؟

سنرمز للاحتمال بالرمز IP وسنرمز لاحتمال X علماً أن Y قد وقع بالرمز
IP(X│Y)
وسنرمز للمتمم بالرمز Xc
ولدينا القوانين التالية في الاحتمالات الشرطية :
IP(X│Y) = IP(X∩Y)/IP(Y)
IP(X) = IP(X│Y).IP(Y) + IP(X│Yc).IP(Yc)
IP(X) = IP(X∩Y) + IP(X∩Yc)

و
نظراً لكون المسألة مسألة احتمال شرطي فيجب حلها على هذا الأساس و عليه
فلا يجب على السجين A أن يفرح حتى نتأكد من كون احتمال سلامته كبيراً أو
حتى مقبولاً
لنبدأ و الله الموفق للصواب :
ليكن X هو الحدث : > السجين A هو صاحب الحظ بالنجاة < .
ليكن Y هو الحدث : > أجاب الحارس أن B سيلقى حتفه في اليوم التالي <.
ليكن Z هو الحدث : > A و B سيلقيان حتفهما في اليوم التالي < هذا هو نفسه الحدث > السجين C هو صاحب الحظ بالنجاة < .
عندئذٍ يكون لدينا :
IP(Y∩X) = IP(Y│X)IP(X) = (1/2).(1/3) = 1/6
IP(Y∩Xc) = IP(Z) = 1/3
و من ثُمّ
IP(Y) = IP(Y∩X)+IP(Y∩Xc) = 1/2
وبناءً على ما سبق يكون:
IP(X│Y) = IP(Y∩X)/IP(Y)
IP(X│Y) = (1/6)/(1/2) = 1/3
إذن
لمن يكن هناك ما يدعو السجين A للتفاؤل أو حتى للابتسام بعد سماعه إجابة
الحارس ، ولكن لندعه يمضي ليلته هانئاً فربما كانت آخر ساعات حياته.
و أقول ليس هناك مبرر للمجرم الذي ينتظر الإعدام أن يفرح حتى ولو كانت نسبة نجاته 99.999% ولا داعي لمن لا ينتظر الإعدام من الركون للعيش فإن الموت يقبع وراء كل شي و لربما كان قابعاً وراء السعادة
LPL,]

منقول ربما للاخ حاتم تفسير مبسط اكثر