عدد الرسائل : 1498 العمر : 53 تاريخ التسجيل : 26/08/2007
موضوع: هل تريد أن تصبح عالماً مثل أنشتاين السبت 08 سبتمبر 2007, 1:50 pm
الأعداد التالية : 1 ، 2 ،3 ،4 ، . . . . . . . . كما يعلم الجميع تسمى أعداد حقيقية و نعلم أن مضاعف العدد 2 مرتين هو 4 ، ومضاعف 3 ثلاث مرات هو 9 ومضاعف 4ا ربع مرات هو 16 ، وينتج من ذلك : أن الجذر التربيعي للعدد 4 هو 2 والعدد 4 يسمى مربع كامل ، وبالمثل الجذر التربيعي للعدد 16 هو 4 ، لكن ما هو الجذر التربيعي لعدد سالب وهل للصورة ( الجذر التربيعي لـ ( -5 ) ، او ( الجذر التربيعي لـ ( -1 ) أي معنى ؟
إذا فكرت في ذلك لاستنتجت أن هذه الرموز لا معنى لها .
أن مسألة الجذر السالب كانت مسألة غامضة حتى جاء العالم الرياضي الهندي ( باسكار ) في القرن الثاني عشر وقال : ايه مربع أي عدد سواء كان موجباً أو سالباً هو عدد موجب ، وعلى ذلك فالجذر التربيعي للعدد الموجب إما أن يكون موجباً أو سالباً .
أي أنه جذر 4 = +2 أو - 2 وتكتب +2 لأن ( +2 ) في ( +2 ) = +4 وكذلك ( -2 ) في ( -2 ) = +4
أما العدد السالب فليس له جذر تربيعي لأن العدد السالب ليس مربعاً كاملاً .
ثم جاء العالم الإيطالي ( كاردان ) في القرن السادس عشر فوضع صيغة تشمل الجذر التربيعي لعدد سالب ، ففي محاولة له قسم العدد 10 إلى قسمين يكون حاصل ضربهما 40 ، بيد أنه لا يوجد عددان حقيقيان يفيان بالمطلوب ففي المستطاع الحصول على الجواب في صورة المقدارين >>>>>>
وبرغم أن الجذر التربيعي للأعداد السالبة هي مسألة تخيلية إلا أن تقسيم العدد 10 إلى جزئين حاصل ضربهما 40 يكون ممكناً .
و منذ ذلك الحين أكثر علماء الرياضيات من استخدام الجذور التربيعية للأعداد السالبة ، والتي تسمى الأعداد التخيلية . وازدادت أهمية هذه الأعداد التخيلية في مسائل كثيرة من مسائل الرياضيات وأصبح من المستحيل الوصول إلى بعض الحلول بدونها . وبالتالي يمكن اعتبار الأعداد التخيلية صورة خيالية في المرآة للأعداد الحقيقية المعروفة . فكما أنه يمكن الحصول على جميع الأعداد الحقيقية ابتداء من العدد الأساسي 1 ، فكذلك يمكن الحصول على جميع الأعداد التخيلية من الوحدة التخيلية (جذر- 1 ) ويرمز لها بالرمز ت ( وهي الحرف الأول من كلمة تخيلي ) وفي الانجليزية يسمىi ، الحرف الأول من كلمة imagine
فيمكن كتابة العدد ( جذر - 9 ) = ( جذر 9 × جذر -1 ) = 3 ت . و جذر -16= جذر 16 × جذر -1 = 4ت و جذر -7= جذر 7 × جذر -1 = 2.64 ت . و هكذا .
ويمكن ضم الأعداد الحقيقية مع الأعداد التخيلية لتكوين مقادير مثل :
5 + جذر -15 = 5 +15ت وتسمى الأعداد المركبة .
وظلت هذه الأعداد التخيلية غامضة لمدة قرنين ، حتى تمكنا ( ويسيل النرويجي ) و (روبرت الفرنسي ) من تفسيرها ، بأنه يمكن تمثيل العدد المركب : 3 +4ت مثلاً كما بالشكل
حيث يمثل العدد 3 المسافة الأفقية أو الأحداثي الأفقي . والعدد 4 يمثل الإحداثي الرأسي .
فيمكن تمثيل جميع الأعداد الحقيقية العادية سواء كانت موجبة أو سالبة بنقط مناظرة على المحور الأفقي ( المحور الحقيقي ) ، أما الأعداد التخيلية فيمكن تمثيلها بنقط مناظرة على المحور الرأسي ( المحور الوهمي )
وللتوضيح أكثر انتبه إلى هذا المثال : - إذا ضربنا عدداً حقيقياً وليكن 3 الذي تمثله نقطة 3 على المحور الأفقي ( الحقيقي ) في الوحدة التخيلية ت حصلنا على العدد التخيلي 3ت ، وهذا العدد التخيلي تمثله النقطة 3 على المحور الرأسي ( الوهمي ) ، نستنتج من ذلك أنه عملية الضرب في ت يمكن تمثيلها هندسياً بدوران مستقيم بمقدار زاوية قائمة في الاتجاه المضاد لدوران الساعة ( كما في الشكل )
تأمل جيداً هذا المثال : إذا ضربنا 3ت مرة أخرى في ت فينبغي أن تدير المستقيم زاوية قائمة أخرى ، وبالتالي تقع النقطة مرة أخرى على المحور الأفقي ولكن موقعها يكون في الجهة اليسرى ، ومن ذلك نستنتج أن :
3ت في ت = 3ت2 = - 3 وبالتالي يكون ت2 =-1 أي أن مربع ت = -1
ركز في هذا المثال : ( 3 +4ت ) × ت = 3ت +4ت2 3ت - 4 = -4 +3ت
و اضح من الشكل أننا نحصل على النقطة -4 +ت بإدارة النقطة 3+4ت حول نقطة الأصل في الإتجاه المضاد لحركة عقرب الساعة ، وبالمثل فإن الضرب في –ت يؤدي إلى عملية دوران حول نقطة الأصل بمقدار زاوية قائمة في اتجاه دوران عقرب الساعة .
و لمعرفة أهمية الأعداد التخيلية في الرياضيات اليك هذا اللغز حيث نطبق فيه هذه الأعداد :
وجد شاب مغامر . . بين أوراق جده الرابع قطعة من الرق تحدد بدقة مكان كنز مخبوء، وكانت التعليمات المكتوبة فيها هي :
1- استقل سفينة واتجه باسم الله مجراها إلى البقعة التي خط عرضها 35 وخط طولها 27 حيث تجد جزيرة مهجورة وستجد عند الشاطئ الشمالي مرجاً كبيراً غير مسور به شجرة منعزلة من البلوط ، وآخري منعزلة من الصنوبر ، و ستجد ايضاً مشنقة قديمة كانت تستخدم لشنق الخونة ،
2- ابدأ من المشنقة واتجه نحو شجرة البلوط عاداً خطواتك، فإذا ما وصلت إلى شجرة البلوط دُر نحو اليمين بمقدار زاوية قائمة .
- و اتجه نحو شجرة الصنوبر عاداً خطواتك فإذا ما وصلت إلى شجرة الصنوبر در نحو اليسار بمقدار زاوية قائمة . 4- ثم سر إلى الأمام مقدار ما سرت من خطوات ثم دق بالأرض وتداً آخر ، فإذا حفرت في منتصف المسافة بين الوتدين عثرت على الكنز . .
و لما كانت التعليمات المكتوبة واضحة وصريحة ، فقد تهلل الشاب فرحاً ثم استأجر سفينة وأبحر إلى البحار الشمالية فوجد الجزيرة والمرج و شجرتي البلوط والصنوبر ، ولكن لم يجد أثراً للمشنقة ، فقد مضى وقت طويل منذ أنت كتبت الوثيقة فتآكلت أخشاب المشنقة بعوامل المطر والشمس والرياح وعادت إلى التربة دون تترك أثراً يدل على المكان الذي كانت قائمة فيه ، فغضب الشاب المغامر واستولى عليه اليأس فأخذ يحفر الأرض على غير هدى في جميع أنحاء المرج ، ولكن دون فائدة فقد كانت الجزيرة غاية في الاتساع فعاد من رحلته دون الكنز منكسر الفؤاد ، وأغلب الظن أن الكنز مازال باقياً في مخبئه .
قصة محزنة حقاً ، ولكن ما يدعو إلى حزن أشد أن هذا الشاب المغامر كان يستطيع أن يعثر على الكنز لو أنه كان ملماً بقدر يسير من الرياضيات وخاصة باستخدام الأعداد التخيلية ،
و الآن لنر إن كان في استطاعتنا أن نجد له الكنز ، رغم أن مساعدتنا له لن تفيد بشئ إذ ستكون قد جاءت بعد فوات الأوان .
1- تصور أن الجزيرة هي مستوى الأعداد المركبة ، لنفرض أن المستقيم الواصل بين الشجرتين يمثل أحد المحورين ( وليكن محور الأعداد الحقيقية ) والمستقيم المقام عمودياً عليه من منتصفه يمثل المحور الآخر ( محور الأعداد التخيلية ) 2- فإذا اعتبرنا إن منتصف المسافة بين الشجرتين تمثل وحدة الأبعاد كان موقع شجرة البلوط تمثله النقطة -1 ، وموقع شجرة الصنوبر تمثله النقطة +1
. - ولما كنا لانعرف المكان الذي كانت المشنقة منصوبة فيه ، فلنفرض أنها كانت عند الرمز الذي يمثلها ، ولما كانت المشنقة لاتقع على أحد المحورين ، فالعدد الذي يمثلها يجب أن يعتبر عدداً مركباً على الصورة ( أ + ب ت ) مثل ( 3 + 4ت ) . 2- ولنقم الآن ببعض العمليات البسيطة ، (عملية ضرب الأعداد التخيلية الموضحة في المثال )
ولما كانت المشنقة عند النقطة م ، وشجرة البلوط عند النقطة -1 فالبعد بينهما مقداراً و اتجاهاً يعبر بالمقدار -1 – م = - ( 1+م ) . و بالمثل يكون البعد بين المشنقة وشجرة الصنوبر 1- م . ولإدارة هذين البعدين زاوية قائمة مع عقرب الساعة ( إلى اليمين ) وزاوية قائمة ضد عقرب الساعة (إلى اليسار ) كما في الوثيقة ، يجب أن تضربهما بناء على القواعد السابقة في –ت وفي ت على الترتيب ، وبذلك تحصل على الموضعين الذي يجب أن يدق عندهما الوتدان .
3- موضع الوتد الأول : - ت [ -(1+م) ] + 1 = ت( 1+م) + 1 . 4- موضع الوتد الثاني : + ت (1- م) - 1 = ت( 1- م) - 1 . 5- ولما كان الكنز في منتصف البعد بين الوتدين ، فيجب أن نجد نصف مجموع العددين المركبينالمذكورين فتحصل على : -
نرى أن موضع المشنقة المجهول والذي رمزنا له بالحرف م قد اختفى من النتيجة النهائية ، فقد اختصر في خطوات الحل ، وأن الكنز بصرف النظر عن المكان الذي كانت المشنقة منصوبة فيه ، يجب أن يبحث عنه عند النقطة ( +ت ) 0 هكذا لو أن المغامر استطاع أن يقوم بهذه العملية الرياضية البسيطة لما كان في حاجة أن ينقب في جميع أنحاء الجزيرة ، ولكان قد عثر على الكنز لو أنه بحث عند النقطة المؤشر عليها بالعلامة × كما في الشكل 0
و الآن إذا كنت في شك أنه ليس من الضروري أن يكون موضع المشنقة معروفاً حتى يمكن العثور على الكنز فعليك بورقة وقلم ثم علم على الورقة نقطتين تمثلا مكانى الشجرتين وحاول أن تنفذ التعليمات التي بالوثيقة فارضاَ عدة أمكنة مختلفة للمشنقة 0 ستجد أنك ستصل في النهاية إلى نفس النقطة المناظرة للعدد +ت في مستوى الأعداد المركبة 0
و بعد هذا الموضوع الطويل عن الأعداد الحقيقية والأعداد التخيلية واستخدام كل منها في المسائل الرياضية ، الذي اتمنى استفاد الجميع منه ،، تكونوا أصدقاء لعلم الرياضيات ، لعلك يوماً ما تصيرمن العلماء مثل أينشتاين عالم الفيزياء الذي قامت أبحاثه على علم الرياضيات وأوجد إنقلاباً وثورة في علم الفيزياء والرياضيات بنظريته الشهيرة " نظرية النسبية العامة والخاصة "
السبت 08 سبتمبر 2007, 1:50 pm
